Página do Aguinaldo: Calculando o valor de Pi

sábado, 28 de agosto de 2010

Calculando o valor de Pi

Em programas antigos escritos em Basic [1] quando era preciso ter o valor de pi [2] para desenhar círculos ou qualquer coisa do gênero, usava-se o resultado da função arco tangente [3] de 1 que dá exatamente um quarto de pi.

Esta função já vinha implementada e a história acabava aí. Bastava criar a variável PI conforme abaixo:

LET PI=ATAN(1)*4

O interessante é que existe a série de Taylor [4] para a função arco tangente que é dada pela seguinte fórmula:

Neste caso 2.i+1 vai gerar todos os números ímpares quando a variável i variar de 0 a infinito [5] e (-1)^i vai ser positivo caso i seja zero ou par e negativo quando for ímpar. Sendo assim o resultado da série é:

E no caso específico de x valendo 1 ela se torna:

Então basta somar um número infinito de termos para descobrir o valor de pi/4? Isto vai criar demorar para sempre! Claro que não, computadores usam uma precisão numérica finita e os termos vão ficando cada vez menores. Sendo assim, vai-se chegar a um ponto em que a soma ou subtração do próximo termo não vai alterar o valor final. Mas, esta soma não é muito apropriada para se fazer manualmente, mesmo com a ajuda de uma calculadora, afinal, para ter um precisão de apenas 3 dígitos após a vírgula, o menor termo terá que valer menos do que 0,0005 e o tal do i estaria lá por 1.000, e não é nada prático somar mil termos para chegar a um resultado tão impreciso.

Então o objetivo desta postagem é mais mostrar como a coisa funciona do que propriamente dar um caminho para calcular o número pi.

Outras séries de Taylor são mais práticas pois os seus termos rapidamente se tornam muito pequenos. Um programa livre que calcula estas séries é o wxMaxima [6] que por sinal foi o que eu usei para obter o exemplo.